Обернена властивість множення стверджує, що для будь-якого числа a, де a не дорівнює нулю, існує таке число, що a × 1 a = 1 a × a = 1 . Таким чином, мультиплікативна зворотна властивість стверджує, що кожне відмінне від нуля число має мультиплікативне обернення. Це включає комплексні числа.
Зауважте, що вони не завжди існують: наприклад, 2 також не має мультиплікативного оберненого в цілих числах. У цій ситуації вірно, що 12(mod6) є мультиплікативним оберненим до 2(mod6), якщо воно існує. Але насправді такого не існує.
Якщо z є ненульовим комплексним числом і z=x+yi, (мультиплікативне) обернене z, позначене z −1 або 1/z, є. Якщо z записане в полярній формі, так що z=reiθ=r (cos θ+i sin θ), де r ≠ 0, обернена до z (1/r)e −iθ=(1/r)(cos θ−i sin θ).
Раціональне число має мультиплікативну оберненість для кожного числа, крім 0. Це тому, що число, обернене до 0, не визначено в системі числення. Таким чином, 0 не має мультиплікативного зворотного.
Множення комплексного числа на дійсне число. Наприклад, 2 помножити на 3 + i — це просто 6 + 2i. Геометрично, коли ви подвоюєте комплексне число, просто подвоїте відстань від початку координат, 0. Подібним чином, коли ви множите комплексне число z на 1/2, результат буде посередині між 0 і z.
поряд з асоціативним, комутативним і розподільним законами. Кожне ненульове комплексне число має мультиплікативне обернене число. Це робить комплексні числа полем із дійсними числами як підполем.